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Formula Fondamentale Calcolo Integrale

Enunciato

Sia f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} continua. Se G:[a,b]→RG:[a,b]\to \mathbb{R}, primitiva di ff

⇒∫abf(x)dx=G(a)−G(b) \Rightarrow \int_a^bf(x)dx = G(a) - G(b)

Esempio

∫02πxdx=[x2x]02π=0222−(2π)222\int_0^{2\pi} xdx = [\frac{x^2}{x}]_0^{2\pi} = \frac{0^2}{2^2} - \frac{(2\pi) ^2}{2^2}

Dimostrazione

F(x)=∫axf(t)dtF(x) = \int_a^xf(t)dt Funzione integrale, ∃\exists è garantita dal teorema fondamentale del calcolo integrale.

G(x)=f(x)+c, c∈RG(b)−G(a)=f(b)+c−f(a)−c=∫abf(t)dt−∫aaf(t)dt=∫abf(t)dt G(x) = f(x)+c,\ c\in \mathbb{R} \\ G(b)-G(a)=f(b)+c - f(a)-c = \int_a^bf(t)dt - \int_a^af(t)dt = \int_a^bf(t)dt

Dove il termine: ∫aaf(t)dt\int_a^af(t)dt vale 0