Teorema di Rolle

Enunciato

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continua in [a,b] e derivabilein (a,b), supponiamo $f(a)=f(b)$, allora: $\\ \Rightarrow \exists c \in (a,b)\ |\ f'(c)=0$

Dimostrazione

Siano $m=minf$ e $M=maxf$ che esistono per il teorema di Weierstrass

Caso m = M

Se $m = M$ implica che $f$ è costante $\Rightarroww f'(x) = 0 \forall x \in (a,)$

Caso $m \neq M$

Se $m \neq M$ allora:

• $\Rightarrow$ Non possono essere gli estremi
• $\Rightarrow \exists c \in (a,b)\ |\ f(x)=m \vee f(c) = M$
  • c è punto di massimo o minimo
  • $f$ è derivabile in c

Dove questi due ultimi punti verificano che $f'(c) = 0$ per il teorema di fermat