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Teorema di Fermat

Enunciato

Sia f:(a,b)→R, x0∈(a,b) ∣ x0f:(a,b)\to \mathbb{R},\ x_0 \in (a,b)\ |\ x_0 punto di massimo/minimo, se ff derivabile in x0x_0 ⇒f′(x0)=0\\ \Rightarrow f'(x_0)=0

Dimostrazione

Minimo relativo

Poniamo il caso di minimo relativo, quindi x0x_0 minimo relativo:

∃δ>0 ∣ ∀x∈(x0−δ,x0+δ), f(x)≥f(x0) \exists \delta > 0\ |\ \forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta),\ f(x)\geq f(x_0)

Sfruttiamo la definizione di derivata:

f′(x0+)=lim⁡x→x0+f(x)−f(x0)x−x0≥0f′(x0−)=lim⁡x→x0−f(x)−f(x0)x−x0≤0 f'(x_0^+) = \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geq 0 f'(x_0^-) = \lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \leq 0

ff è derivabile in x0x_0 se e solo se:

f′(x0)=f′(x0+)=f′(x0−)⇒f′(x0)=0 f'(x_0) = f'(x_0^+) = f'(x_0^-) \Rightarrow f'(x_0) = 0

Massimo Relativo

Lo sviluppo della dimostrazione nel caso di massimo relativo è analoga al minimo relativo dove f′(x0−)≥0, f′(x0+)<≤0f'(x_0^-)\geq 0,\ f'(x_0^+)<\leq 0