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Definizioni per Insiemi

Considerando un sotto-insieme non vuoto A⊂RA \subset \mathbb{R}

Maggiorante

Si dice maggiorante un numero reale M di A se

∀x∈A, x≤M\forall x \in A,\ x \leq M

Minorante

Si dice Minorante un numero reale m di A se

∀x∈A, x≥m\forall x \in A,\ x \geq m

Insieme Limitato superiormente/inferiormente

L'insieme A è limitato superiormente o inferiormente se esiste almeno un maggiorante M o minorante m.

Estremo superiore/inferiore

L'estremo superiore supAsupA è il più piccolo tra tutti i maggioranti M
L'estremo inferiore infAinfA è il più piccolo tra tutti i minoranti m.

supA=min{M ∈R ∣ M maggiorante di A}supA = min\{M\ \in \mathbb{R}\ |\ M\ maggiorante\ di\ A\} infA=max{M ∈R ∣ m minorante di A}infA = max\{M\ \in \mathbb{R}\ |\ m\ minorante\ di\ A\}

Massimo

Si definisce massimo M = maxA un numero reale che

  • M maggiorante di A
  • M∈RM \in \mathbb{R}

Minimo

Si definisce min m = minA un numero reale che

  • m minorante di A
  • m∈Rm \in \mathbb{R}

Esempi

  1. A = {1, 3, 5, 7}

maxA = 7
minA = 1
supA = 7
infA = 1

  1. A = {x∈R 0<x<2}\{x \in \mathbb{R} \ 0 < x < 2\}

maxA = ∄\nexists
minA = ∄\nexists
supA = 2
infA = 0