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Teorema degli Zeri

Enunciato

Sia f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R}, continua in [a,b]∣f(a)⋅f(b)<0[a,b]|f(a)\cdot f(b)<0 ⇒∃x0∈(a,b)∣f(x0)=0\Rightarrow \exists x_0 \in (a,b)| f(x_0)=0

Dimostrazione

Per dimostrare questo teorema facciamo uso del metodo della bisezione, concettualmente dividiamo l'intervallo a,b a metà finche non troviamo lo zero.
Poniamo:

a0=ab0=bc0=a0+b02 a_0 = a b_0 = b c_0 = \frac{a_0 + b_0}{2}

Affinchè f(an)⋅f(bn)<0f(a_n)\cdot f(b_n) < 0 costruendo di fatto una serie di intervalli [an,bn][a_n, b_n]:

an≤an+1∀n crescente ⇒∃lim⁡n→+∞an=l1bn+1≤bn∀n decrescente ⇒∃lim⁡n→+∞bn=l2 a_n \leq a_{n+1} \forall n\ crescente\ \Rightarrow \exists \lim_{n\to +\infty} a_n = l_1 \\ b_{n+1} \leq b_n \forall n\ decrescente\ \Rightarrow \exists \lim_{n\to +\infty} b_n = l_2 \\

Questi due limiti esistono perchè garantini dal Teorema delle successioni monotone.

bn−an=bn−1−an−12=bn−2−an−24=...=b0−a02n→0⇒lim⁡n→+∞(bn−an)=0⇒l1=l2b_n-a_n = \frac{b_{n-1}-a_{n-1}}{2} = \frac{b_{n-2}-a_{n-2}}{4} = ... = \frac{b_0-a_0}{2^n} \to 0 \\ \Rightarrow \lim_{n\to +\infty}(b_n-a_n) = 0 \Rightarrow l_1=l_2

Ora dimostriamo che f(x)=0f(x)=0

lim⁡n→+∞f(an)=f(x0), f continua; f(an)<0 ∀n⇒f(x0)≤0lim⁡n→+∞f(bn)=f(x0), f continua; f(bn)<0 ∀n⇒f(x0)≥0 \lim_{n\to +\infty} f(a_n) = f(x_0),\ f\ continua;\ f(a_n) < 0\ \forall n \Rightarrow f(x_0) \leq 0 \\ \lim_{n\to +\infty} f(b_n) = f(x_0),\ f\ continua;\ f(b_n) < 0\ \forall n \Rightarrow f(x_0) \geq 0

Relazioni valide per an→x0a_n\to x_0 e bn→x0b_n \to x_0 e per il teorema della permanenza del segno.
Da questo segue che: ⇒f(x0)=0\Rightarrow f(x_0)=0

Corollario

Possiamo sfruttare questa definizione per dire che: Se f,g:[a,b]→Rf,g : [a,b]\to \mathbb{R} continue tali che:

f(a)>g(a)f(b)<g(b)⇒∃x0∈(a,b) ∣ f(x0)=g(x0) f(a)>g(a) f(b)<g(b) \\ \Rightarrow \exists x_0 \in (a,b)\ |\ f(x_0) = g(x_0)