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Teorema Limiti di Successioni Monotone

Enunciato

Consideriamo ana_n una successione monotòna crescente allora:

∃lim⁡n→+∞an={l∈R+∞=sup{aj : i=0,1,2,...} \exists \lim_{n \to +\infty} a_n = \begin{cases} l \in \mathbb{R} \\ + \infty \end{cases} = sup\{ a_j\ :\ i = 0,1,2,...\}

In maniera analoga se ana_n è monotòna decrescente, allora:

∃lim⁡n→+∞an={l∈R−∞=sup{aj : i=0,1,2,...} \exists \lim_{n \to +\infty} a_n = \begin{cases} l \in \mathbb{R} \\ - \infty \end{cases} = sup\{ a_j\ :\ i = 0,1,2,...\}

Dimostrazione

Si vuole dimostrare che lim⁡n→+∞an=l\lim_{n \to +\infty} a_n = l dove l=sup{aj : j=0,1,2,...}l = sup\{a_j\ :\ j = 0,1,2,...\}

lim⁡n→+∞an=l⇐⇒∀ϵ>0 ∃nϵ∈R ∣ ∀n>nϵ ∣an−l∣<ϵ \lim_{n \to +\infty} a_n = l \Leftarrow \Rightarrow \forall \epsilon > 0\ \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{R}\ |\ \forall n > n_{\epsilon}\ |a_n-l|<\epsilon

Dove ll è maggiorante quindi:

∀n∈N,   an<l<l+ϵ \forall n \in \mathbb{N},\ \ \ a_n <l <l+\epsilon

Mentre ll è il più piccolo tra i maggiornati, quindi:

  1. l−ϵl-\epsilon non è maggiorante
  2. ∃N∈N ∣ an>l−ϵ\exists N \in \mathbb{N}\ |\ a_n>l-\epsilon
  3. ⇒∀n>N,   an≥_n>l−ϵ⇒an\Rightarrow \forall n > N, \ \ \ a_n \geq \_n > l-\epsilon \Rightarrow a_n crescente

Mentre nel caso in cui è crescente e non limitata quindi:

lim⁡n→+∞an=+∞⇐⇒sup{an ∣ n∈n}=+∞ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty \Leftarrow \Rightarrow sup\{a_n\ |\ n \in \mathbb{n}\} = +\infty ⇐⇒∀M>0 ∃N∈N ∣ ∀n>N,  an>N \Leftarrow \Rightarrow \forall M > 0\ \exists N \in \mathbb{N}\ |\ \forall n>N, \ \ a_n> N

Se ana_n non è limitata superiormente

⇒∀M>0 ∃N∈N ∣ an>M⇒an+1≥an⇒∀n≥N,  an≥ aN>M \Rightarrow \forall M>0\ \exists N \in \mathbb{N}\ |\ a_n > M\\ \Rightarrow a_{n+1}\geq a_n \\ \Rightarrow \forall n \geq N, \ \ a_n \geq \ a_N > M