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Teorema di Lagrange

Enunciato

Sia f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora ⇒∃c∈(a,b) ∣ f′(c)=f(b)−f(a)b−a\\ \Rightarrow \exists c \in (a,b)\ |\ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

Dimostrazione

Poniamo g(x)=f(x)−m⋅(x−a)g(x) = f(x)-m\cdot(x-a), dove m=f(b)−f(a)b−am=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} che è il coefficiente della retta passante per a e b. La funzione g(x)g(x) restituisce la distanza che c'è tra la retta passante per a, b e il grafico della funzione f(x)f(x)

Dove:

  • gg è continua in [a,b][a,b]
  • gg è derivabile in (a,b)(a,b)
  • g(a)=g(b)g(a)=g(b)

Ora applichiamo il teorema di rolle, quindi: ⇒∃c∈(a,b) ∣ g′(c)=0⇒0=g′(c)=f′(c)−m⇒f′(c)=m\\ \Rightarrow \exists c \in (a,b)\ |\ g'(c)=0 \\ \Rightarrow 0 = g'(c) = f'(c)-m \\ \Rightarrow f'(c) = m