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Teorema Unicità del Limite

Enunciato

Se una successione ana_n ammette un limite finito allora esso è unico

Dimostrazione

Consideriamo ana_n una successione

an→x, an→ya_n \to x,\ a_n \to y

Con n→+∞n \to + \infty e x≠yx \neq y per assurdo

⇒lim⁡n→+∞an=x⇐⇒∀ϵ>0 ∃nϵ∈R ∣ ∀n>nϵ, ∣an−x∣<ϵ\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n= x \Leftarrow \Rightarrow \forall \epsilon > 0\ \exists n_{\epsilon} \in \mathbb{R}\ |\ \forall n > n_{\epsilon},\ |a_n-x| < \epsilon ⇒lim⁡n→+∞an=y⇐⇒∀ϵ>0 ∃n‾ϵ∈R ∣ ∀n>n‾ϵ, ∣an−y∣<ϵ\Rightarrow \lim_{n \to +\infty} a_n= y\Leftarrow \Rightarrow \forall \epsilon > 0\ \exists \overline{n}_{\epsilon} \in \mathbb{R}\ |\ \forall n > \overline{n}_{\epsilon},\ |a_n-y| < \epsilon

Visto che x≠yx \neq y allora:

∣x−y∣≠0|x-y| \neq 0

Che però implica che:

∣x−y∣=∣x−an+an−y∣≤∣x−an∣+∣an−y∣ |x-y| = |x - a_n + a_n -y| \leq |x-a_n| + |a_n-y|

Dove

∣x−an∣<ϵ∣an−y∣<ϵ |x-a_n| < \epsilon \\ |a_n-y| < \epsilon ⇒∣x−y∣≤2ϵ\Rightarrow |x-y| \leq 2\epsilon

E se ϵ\epsilon tende a 0 allora implica che: x=yx=y, il che va contro l'ipotesi.