1. Home
  2. Matematica
  3. Serie Numeriche
  4. Criteri
  5. criterio del rapporto e radice n esima

Criterio del Rapporto/Radice n-esima

Enunciato

Date due successioni: ana_n a termini positivi, supponiamo:

∃lim⁡n→+∞an+1an=L oppure ∃lim⁡n→+∞(an)1n⇒L>1 ∑an divergeL<1 ∑an converge\exists \lim_{n\to +\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\ oppure\ \exists \lim_{n\to +\infty}(a_n)^{\frac{1}{n}}\\ \Rightarrow L > 1\ \sum a_n\ diverge\\ L < 1\ \sum a_n\ converge

Dimostrazione

lim⁡n→+∞ann=l\lim_{n\to +\infty} \sqrt[n]{a_n} = l, Caso l<1l<1

Scelgo ϵ>0 ∣ L+ϵ<1\epsilon >0\ |\ L+\epsilon <1 ⇒∃n0∈N∣ ∀n≥n0, ann<l+ϵ\Rightarrow \exists n_0 \in \mathbb{N}|\ \forall n\geq n_0,\ \sqrt[n]{a_n} < l + \epsilon ⇒ab≤(l+ϵ)n, ∑n=1+∞(l+ϵ)n⇒an\Rightarrow a_b \leq (l+\epsilon)^n,\ \sum_{n=1}^{+\infty}(l+\epsilon)^n \Rightarrow a_n converge La successione: (l+ϵ)n(l+\epsilon)^n è una serie geometrica di ragione <1<1