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Criterio del Confronto

Enunciato

Date due successioni: an, bna_n,\ b_n a termini positivi, supponendo che ∃nα ∣ an≤bn ∀n≥nα\exists n_\alpha \ |\ a_n \leq b_n\ \forall n \geq n_\alpha

  1. ∑bn<+∞⇒∑an<+∞\sum b_n < +\infty \Rightarrow \sum a_n < +\infty converge
  2. ∑an=+∞⇒∑bn=+∞\sum a_n = +\infty \Rightarrow \sum b_n = +\infty

Dimostrazione

  1. ∑bn=l∈R⇒lim⁡n→+∞(b0+b1+...+bk)=l∈R\sum b_n = l\in \mathbb{R} \Rightarrow \lim_{n\to +\infty}(b_0 + b_1 + ... + b_k)=l \in \mathbb{R}

Dove:

(b0+b1+...+bk)≥(a0+a1+...+ak)→l(b_0 + b_1 + ... + b_k)\geq (a_0 + a_1 + ... + a_k)\to l con n→+∞n\to +\infty

In particolare per il teorema della convergenza dei limiti delle successioni monotone
lim⁡n→+∞(a0+a1+...+ak)=l∈R\lim_{n\to +\infty}(a_0 + a_1 + ... + a_k) = l \in \mathbb{R}

  1. ∑an=+∞⇒lim⁡n→+∞(a0+a1+...+an)=+∞\sum a_n = +\infty \Rightarrow \lim_{n\to +\infty} (a_0+a_1+...+a_n)=+\infty

(b0+b1+...+bk)≥(a0+a1+...+ak)→l(b_0 + b_1 + ... + b_k)\geq (a_0 + a_1 + ... + a_k)\to l con n→+∞n\to +\infty

Per il teorema della convergenza dei limiti di successione:
⇒lim⁡k→+∞(b0+b1+...+bk)=+∞⇒∑n=0∞=+∞\Rightarrow \lim_{k\to + \infty}(b_0+b_1+...+b_k)=+\infty \Rightarrow \sum_{n=0}^{\infty} = +\infty