Teorema della Monotonia della Derivata Prima

Enunciato

Sia $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ derivabile, $\\ \Rightarrow f$ Monotona Crescente/Decrescente su $(a,b)$ $\Leftarrow \Rightarrow f'(x) \geq / \leq 0\ \forall x \in (a,b)$

Dimostrazione

Si vuole dimostrare che $f$ è crescente in $x_0 \in (a,b)$:

$f'(x_o^+) = \lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \geq 0$ per il Teorema della permanenza del segno $\Rightarrow f(x)\geq f(x_0)$ perchè $f$ crescente

Ora dimostriamo che $f'(x)\geq 0\ \forall x \in (a,b)$. La tesi è: $f$ è crescente ovvero: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)$ Ora applichiamo il Teorema di Lagrange in $[x_1, x_2] \subset (a,b)$ $\\ \ \exists c \in (x_1,x_2)\ |\ f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} = f(x_2)-f(x_1) = f'(c)\cdot(x_2-x_1)$ Dove gli ultimi due termini sono entrambi positivi il che implica che: $f'(c)\cdot(x_2-x_1) \geq 0$ $\\ \Rightarrow f(x_2) \geq f(x_1)$