1. Home
  2. Meccanica Razionale
  3. teorema asse centrale

Teorema Asse Centrale

Enunciato

In un sistema di vettori applicati con risultante non nullo (R⃗≠0\vec{R}\neq 0), l'asse centrale è definito come la retta parallela ad R⃗\vec{R}:

{A∈E3∣A−O=1∣R⃗2∣R⃗∧M⃗o+αR⃗}\{ A\in \E | A-O = \frac{1}{|\vec{R}^2|}\vec{R}\wedge \vec{M}_o + \alpha \vec{R}\}

Dove O∈E3O \in \mathbb{E}^3 generico punto e M⃗o\vec{M}_o il momento risultante con polo in O. Il momento ha lo stesso valore per ogni punto A dell'asse centrale

Dimostrazione

Scelto O, M⃗o\vec{M}_o ed R⃗≠0\vec{R} \neq 0 i punti A∈E3∣M⃗a∥R⃗A \in \mathbb{E}^3 | \vec{M}_a \parallel \vec{R} hanno relazione:

M⃗o+(O−A)∧R⃗=λR⃗\vec{M}_o + (O-A)\wedge \vec{R} = \lambda \vec{R}

Risolvendo per A-O, possiamo individuare i punti A∈aA \in a:

  • Moltiplico vettorialmente per R⃗\vec{R}
  • Lambda per ipotesi si semplifica visto che: R⃗≠0\vec{R} \neq 0
A−O=1∣§R⃗2∣R⃗∧M⃗o+αR⃗A-O = \frac{1}{|\vec{§R}^2|}\vec{R}\wedge \vec{M}_o + \alpha \vec{R}

Dalla quale è facile verificare che i punti A costituiscono i punti di a∀α∈Ra \forall \alpha\in \mathbb{R}

Si ha che per i punti A-O:

M⃗a=M⃗o+(O−A)∧R⃗=M⃗o+R⃗∧[1∣R⃗∣2⋅R⃗∧M⃗o+αR⃗]\vec{M}_a = \vec{M}_o + (O-A) \wedge \vec{R} = \vec{M}_o + \vec{R}\wedge [\frac{1}{|\vec{R}|^2}\cdot \vec{R} \wedge \vec{M}_o + \alpha \vec{R}] =M⃗o+1∣R⃗∣2⋅R⃗∧(R⃗∧M⃗o)= \vec{M}_o + \frac{1}{|\vec{R}|^2}\cdot \vec{R} \wedge (\vec{R}\wedge \vec{M}_o) =M⃗o+1∣R⃗∣2⋅[R⃗(R⃗⋅M⃗o)−M⃗o∣R⃗∣2]= \vec{M}_o + \frac{1}{|\vec{R}|^2}\cdot [\vec{R} (\vec{R}\cdot \vec{M}_o) - \vec{M}_o |\vec{R}|^2] =R⃗⋅M⃗o∣R⃗∣2⏟λ⋅R⃗= \underbrace{\frac{\vec{R}\cdot \vec{M}_o}{|\vec{R}|^2}}_{\lambda}\cdot \vec{R}

⇒\Rightarrow Il momento risultante è indipendente dal polo lungo l'asse centrale:

M⃗a=M⃗o+(A−B)∧R⃗    ∀A,B∈a\vec{M}_a = \vec{M}_o + (A-B)\wedge \vec{R}\ \ \ \ \forall A,B \in a