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Teorema Asse Centrale

Enunciato

In un sistema di vettori applicati con risultante non nullo (R⃗≠0\vec{R}\neq 0), l'asse centrale è definito come la retta parallela ad R⃗\vec{R}:

{A∈E3∣A−O=1∣R⃗2∣R⃗∧M⃗o+αR⃗}\{ A\in \E | A-O = \frac{1}{|\vec{R}^2|}\vec{R}\wedge \vec{M}_o + \alpha \vec{R}\}

Dove O∈E3O \in \mathbb{E}^3 generico punto e M⃗o\vec{M}_o il momento risultante con polo in O. Il momento ha lo stesso valore per ogni punto A dell'asse centrale

Dimostrazione

Scelto O, M⃗o\vec{M}_o ed R⃗≠0\vec{R} \neq 0 i punti A∈E3∣M⃗a∥R⃗A \in \mathbb{E}^3 | \vec{M}_a \parallel \vec{R} hanno relazione:

M⃗o+(O−A)∧R⃗=λR⃗\vec{M}_o + (O-A)\wedge \vec{R} = \lambda \vec{R}

Risolvendo per A-O, possiamo individuare i punti A∈aA \in a:

  • Moltiplico vettorialmente per R⃗\vec{R}
  • Lambda per ipotesi si semplifica visto che: R⃗≠0\vec{R} \neq 0
A−O=1∣§R⃗2∣R⃗∧M⃗o+αR⃗A-O = \frac{1}{|\vec{§R}^2|}\vec{R}\wedge \vec{M}_o + \alpha \vec{R}

Dalla quale è facile verificare che i punti A costituiscono i punti di a∀α∈Ra \forall \alpha\in \mathbb{R}