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Dimostrazione esistenza del numero di Nepero e

Enunciato

Se consideriamo la successione:

an=(1+1n)n a_n = (1 + \frac{1}{n})^n

ana_n è strettamente crescente e limitata

Corollario

Esiste ed è finito il numero di nepero, ovvero il limite della successione di Nepero (ana_n) e si indica con la lettera e:

∃lim⁡n→+∞(1+1n)n=e \exists \lim_{n \to +\infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e

Dimostrazione

Riscriviamo ana_n tramite il binomio di Newton:

an=∑k=0n1n−k⋅1nk=∑k=0nn(n−1)...(n−k+1)k!⋅frac1n⋅n⋅...⋅n a_n = \sum_{k=0}^n 1^{n-k}\cdot \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\cdot frac{1}{n\cdot n\cdot ... \cdot n}

Dove la prima frazione è il coefficiente binomiale con k fattori, mentre la seconda frazione rappresenta 1nk\frac{1}{n^k}

Quindi riscriviamo ed otteniamo:

an=∑k=0n1k!⋅1⋅nn⋅n−1n⋅n−2n⋅...⋅n−k+1n⇐⇒an=∑k=0n1k!⋅1⋅(1−1n)⋅(1−2n)⋅...⋅(1−k−1n) a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot ... \cdot \frac{n-k+1}{n} \\ \Leftarrow \Rightarrow \\ a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot (1-\frac{1}{n})\cdot (1-\frac{2}{n}) \cdot ... \cdot (1-\frac{k-1}{n})

Dove per dimostrare che è crescente scriviamo la successione con an+1a_{n+1}

an+1=∑k=0n+11k!⋅1⋅(1−1n+1)⋅(1−2n+1)⋅...⋅(1−k−1n+1) a_{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot (1-\frac{1}{n+1})\cdot (1-\frac{2}{n+1}) \cdot ... \cdot (1-\frac{k-1}{n+1})

Risulta evidente che i termini all'interno delle parentesi di an+1a_{n+1} sono minori rispetto a quelli di ana_n quindi:

⇒an≤an+1∀n \Rightarrow a_n \leq a_{n+1} \forall n

Dunque una volta dimostrata che ana_n è monotona crescente, ora possiamo dimostrare che è limitata, quindi:

an=∑k=0n1n−k⋅1nk=∑k=0nn(n−1)...(n−k+1)k!⋅frac1n⋅n⋅...⋅n a_n = \sum_{k=0}^n 1^{n-k}\cdot \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\cdot frac{1}{n\cdot n\cdot ... \cdot n} an=∑k=0n1k!⋅1⋅nn⋅n−1n⋅n−2n⋅...⋅n−k+1nan≤∑k=0n1k!≤∑k=0n12k+1 a_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \cdot 1 \cdot \frac{n}{n} \cdot \frac{n-1}{n} \cdot \frac{n-2}{n} \cdot ... \cdot \frac{n-k+1}{n} a_n \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \leq \sum_{k=0}^n \frac{1}{2^{k+1}}

Dove la frazione 12k+1\frac{1}{2^{k+1}} è una seria geometrica e la somma vale:

Sk=2⋅1−2−n−11−2−1<21−2−1=4 S_k = 2 \cdot \frac{1-2^{-n-1}}{1-2^{-1}} < \frac{2}{1-2{-1}} = 4

Da questo segue che:

⇒an<4 ∀n∈N \Rightarrow a_n < 4\ \forall n \in \mathbb{N}

⇒an\Rightarrow a_n superiormente limitata