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Serie Numerica

Definizione

Consideriamo una successione ana_n con n≥0n\geq 0 di numeri R\mathbb{R}, Definiao la successione di somme parziali: Sk, k>0S_k,\ k > 0:

S0=a0S1=a0+a1S2=a0+a1+a2...=...Sn=a0+a1+a2+...+anS_0 = a_0 S_1 = a_0+a_1 S_2 = a_0+a_1+a_2 ... = ... S_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n

Definiamo Serie Numerica il limite delle somme parziali:

∑n=0+\intyan:=lim⁡k→+∞Sk={l∈ R convergente±∞ divergente∄indeterminata \sum_{n=0}^{+\inty } a_n := \lim_{k\to +\infty} S_k = \begin{cases} l\in \ \mathbb{R}\ convergente \\ \pm \infty\ divergente \\ \nexists indeterminata \end{cases}

Carattere di una Serie

Per carattere di una serie si intende capire se la somma della serie converge o meno

Condizione Necessaria alla Convergenza

Definizione

Affinchè una serie possa essere convergente, deve verificarsi:

lim⁡n→+∞an=0 \lim_{n\to +\infty} a_n = 0

Questa è una condizione necessaria alla convergenza ma non è sufficiente, infatti possono esistere delle serie che rispettano questa condizione ma che divergono.

Dimostrazione

Sk=∑n=0+∞an=a0+a1+a2+...+ak−1+ak=Sk−1+akS_k=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = a_0 + a_1 + a_2 + ... + a_k-1 + a_k = S_{k-1}+a_k ⇒ak=Sk−Sk−1\\ \Rightarrow a_k = S_k-S_{k-1} Da questo segue che ∑n=0+∞an\sum_{n=0}^{+\infty} a_n è convergente infatti ⇒lim⁡k→+∞Sk=l∈R\Rightarrow \lim_{k\to +\infty}S_k = l \in \mathbb{R} ⇒lim⁡k→+∞ak=lim⁡k→+∞Sk−Sk−1=l−l=0\\ \Rightarrow \lim_{k\to +\infty}a_k = \lim_{k\to +\infty}S_k - S_{k-1}=l-l = 0