Dimostrazione $\sqrt{2}$ numero Irrazionale

Per poter dimostrare che radice di 2 è un numero irrazionale, dobbiamo supporre per assurdo che $\sqrt{2}$ sia razionale, quindi:

Dove a,b sono co-primi e b $\neq$ 0

Eleviamo al quadrato destra e sinistra otteniamo:

Ciò implica che $2b^2$ è pari e multiplo di 2, da questo segue che $a^2$ è pari quindi:

Da questo segue che 2k^2 è pari e multiplo di due Il che implica $b^2$ è pari, b è pari

! Sia a,b sono pari il che contraddice l'ipotesi iniziale dove a,b coprimi, di fatto a e b sono divisibili per due $\Rightarrow$ Quindi $\sqrt{2}$ non può essere razionale

Definizione di $\sqrt{2}$

Per definire radice di due possiamo utilizzare l'assioma di completeza quindi, utilizziamo:

L'assioma di completezza garantisce che per questo insieme $\exists supA \in \mathbb{R}$ In particolare, supA:

• Non può essere $x^2 < 2$ sennò non è maggiorante
• Non può essere $x^2 > 2$ sennò non è il più piccolo tra i maggioranti

Segue che $\sqrt{2}$ è $supA$.