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Formula di De Moivre

La formula di De Moivre, ovvero:

zn=∣z∣n[cos(nθ)+isin(nθ)]z^n = |z|^n[cos(n\theta) + isin(n\theta)]

Dimostrazione

Se consideriamo

zj=∣zj∣(cosθj+isinθj)z_j = |z_j|(cos\theta_j + isin\theta_j)

con j = 0,1,2,_

Se però prendiamo zjz_j tutti uguali abbiamo di fatto:

z0⋅z1⋅z2⋅...⋅zn=∣z0∣∣z1∣∣z2∣...∣zn∣[cos(θ0+θ1+...+θn)+isin(θ0+θ1+...+θn)]z_0 \cdot z_1 \cdot z_2 \cdot ... \cdot z_n = |z_0||z_1||z_2|...|z_n|[cos(\theta_0 + \theta_1 + ... + \theta_n ) + i sin(\theta_0 + \theta_1 + ... + \theta_n )]

Che di fatto se i moduli e angoli sono uguali abbiamo n volte l'angolo e il modulo.