Cos'è un numero complesso?

L'insieme di numeri complessi è definito come le coppie ordinate di numeri reali, un esempio di numero complesso può essere (1,2) oppure 2+3i

Cosa si intende per coppie ordinate?

Con il termine coppie ordinate indichiamo che la coppia (3,1) è diversa da quella (1,3).

Definizione di Numero Complesso

I Numeri Complessi sono definiti come l'insieme di coppie ordintate (Le coppie ordinate si differiscono, in quanto l'ordine degli elementi è importante, quindi $(a,b) \neq (b,a)$ , formalmente $(a,b) = \{\ \{ a\} ,\{ a,b\}\ \}$ ) di numeri reali:

\mathbb{C} = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 = \{ (x,y) |\ x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}\}

z \in \mathbb{C}\ \ \ z = (x,y)

Ad esempio: $w = (4,5),\ \beta = (-3, \pi)$

Risulta necessario introdurre l'Unità Immaginaria $i$ formalmente:

i = (0,1)

Forme di rappresentazioni

I numeri complessi possono essere rappresentati in 3 modi principali:

Algebrica

$z = x+iy$

Trigonometrica

$z = |z|(cos\theta + isin\theta)$

Esponenziale

$z = |z|e^{i\theta}$

Dove |z| corrisponde a $\sqrt{x^2+y^2}$ che è la distanza del punto dall'origine, mentre $\theta$ è l'angolo che si forma tra l'asse x e il segmento che congiunge l'origine con il punto.