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Calcolo radici n-esime

Se consideriamo w∈cw \in \mathbb{c} con w≠0w \neq 0 e w=∣w∣eiθw=|w|e^{i\theta}

Per calcolare le radici n-esime di un w dobbiamo trovare tutti i z=∣z∣eiα∣zn=wz= |z|e^{i\alpha} | z^n = w.

Procedimento

zn=w⇐⇒∣z∣neinα=∣w∣eiθz^n = w \Leftarrow \Rightarrow |z|^ne^{in\alpha} = |w|e^{i\theta} {∣z∣n=∣w∣nα=θ+2kπ⇐⇒{∣z∣=∣w∣nα=θ+2kπn \begin{cases} |z|^n = |w|\\ n\alpha = \theta + 2k\pi \\ \end{cases} \Leftarrow \Rightarrow \begin{cases} |z| = \sqrt[n]{|w|}\\ \alpha = \frac{\theta + 2k\pi}{n} \\ \end{cases}

Con k = 0,1,2,_,n-1, questo serve per trovare tutte le minime soluzioni (andando oltre troviamo doppioni)