Teorema Fondamentale Calcolo Integrale

Enunciato

Sia $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ funzione integrabile in, $x_0 \in [a,b]$ , Sia: $F(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt$ , allora:

F è continua in $[a,b]$
Se $f$ continua in $\overline{x} \in (a,b), F$ derivabile in $\overline{x}$

F'(\overline{t}) = f(\overline{t})

Dimostrazione

Per semplicità $x_0=a,\ F(x)=\int_a^x f(t)dt$

Fisso $\overline{x}\in [a,b]$ , dimostriamo che $F$ continua in $\overline{x}$ ovvero: $\\ \lim_{x\to \overline{x}} F(x) = F(\overline{X}) \Leftarrow \Rightarrow \lim_{x\to \overline{x}} F(x) - F(\overline{X}) = 0$

Sappiamo che:

0 \leq |F(x)-F(\overline{X})| = | \int_a^x f(t)dt - \int_x^{\overline{X}}f(t)dt |

Se $\overline{X} < x$ :

\Rightarrow = | \int_a^{\overline{X}}f(t)dt + \int_{\overline{X}}^xf(t)dt - \int_a^{\overline{X}}f(t)dt | \\ = |\int_{\overline{X}}^xf(t)dt| \leq \int_{\overline{X}}^x|f(t)|dt \leq \int_{\overline{X}}^xMdt =M(x-\overline{x})

Dove abbiamo utilizzato prima le proprietà degli integrali, e poi visto che $f$ è limitata esiste un massimo: $\\ \Rightarrow 0 < |F(x) - F(\overline{x})| \leq M(x-\overline{x}) \\ \Rightarrow |F(x)- F(\overline{x})| = 0$

Ora supponiamo che $f$ è continua in $[a,b]$ . Fissiamo $\overline{x} \in [a,b]$ , dimostriamo quindi che $F'(x) = f(x)$

Applichiamo la definizione di derivata a $F(X)$ , quindi: $\\ \frac{F(x)-f(\overline{X})}{x-\overline{x}} = \frac{1}{x-\overline{x}}\cdot [F(x)-F(\overline{x})] = \frac{1}{x-\overline{x}}\cdot \int_{\overline{x}}^xf(t)dt$

Ora applichiamo il Teorema della Media:
$\exists C_x \in (\overline{x},x) | \frac{1}{x-\overline{x}}\cdot \int_{\overline{x}}^xf(t)dt = f(x)$
$F'(\overline{x}) = \lim_{x\to \overline{x}} \frac{F(x)-F(\overline{x})}{x-\overline{x}} = \lim_{x\to \overline{x}} f(C_c) = f(\overline{x})$

Con $C_x \to \overline{x}$ quando $x \to \overline{x}$