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Definizione Integrale Improprio

Definizioni

Funzione limitata in intervallo limitato

Sia f:(a,b)→Rf:(a,b) \to \mathbb{R} integrabile in [a+ϵ,b]∀ϵ>0[a+\epsilon,b] \forall \epsilon > 0

Definiamo l'integrale improprio o generalizzato di ff in (a,b)(a,b) come limite se esiste:

∫abf(x)dx:=lim⁡ϵ→++∫a+ϵbf(x)dx={l∈R±∞∄ \int_a^b f(x)dx := \lim_{\epsilon \to +^+} \int_{a +\epsilon}^b f(x)dx = \begin{cases} l \in \mathbb{R}\\ \pm \infty\\ \nexists \end{cases}

  • Se l∈R⇒fl \in \mathbb{R} \Rightarrow f è integrabile in senso generalizzato in (a,b)(a,b)

  • Analogamente se ff integrale in senso generalizzato in [a,b−ϵ]∀ϵ>0[a,b-\epsilon] \forall \epsilon >0

⇒∫abf(x)dx:=lim⁡ϵ→0+∫ab−ϵf(x)dx \Rightarrow \int_a^bf(x)dx := \lim_{\epsilon \to 0^+}\int_a^{b-\epsilon}f(x)dx

Funzione illimitata in intervallo limitato

Sia f:[a,+∞)→Rf:[a,+\infty) \to \mathbb{R} integrabile in [a,M]∀\M>0[a,M] \forall \M > 0

Definiamo l'integrale improprio o generalizzato di ff in (a,+∞)(a,+\infty) come il limite se esiste:

∫a+∞f(x)dx:=lim⁡m→+∞∫aMf(x)dx \int_a^{+\infty}f(x)dx := \lim_{m\to +\infty}\int_a^M f(x)dx ∫−∞bf(x)dx:=lim⁡m→−∞∫Mbf(x)dx \int_{-\infty}^bf(x)dx := \lim_{m\to -\infty}\int_M^b f(x)dx