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Dimostrazione Limite sinx/x

Per dimostrare il limite notevole: lim⁡x→0sinxx\lim_{x\to 0}\frac{sinx}{x} faremo così:

  1. Consideriamo la circonferenza goniometrica, quindi di raggio 1
  2. Disegnamo un angolo xx di circa 45° (serve solo a capire il disegno di fatto)
  3. Allungiamo il segmento con il quale abbiamo disegnato l'angolo affinche tocchiamo la tangente della circonferenza

Dimostrazione

Una volta disegnato, studiamo il caso in cui: x→0+x\to 0^+
Notiamo geometricamente che le aree dei triangoli e il settore circolare sono rispettivamente: Area triangolo BOP < Area Settore circolare BOP < Area Triangolo BOQ, che numericamente parlando sara:

12sinx≤12x≤12tanx \frac{1}{2}sinx \leq \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}tanx

Se semplifichiamo in tutte le equazioni 12\frac{1}{2} otteniamo:

sinx≤x≤tanx⇐⇒sinx≤x≤sinxcosx⇐⇒cosx≤sinxx≤1 sinx \leq x \leq tanx \\ \Leftarrow \Rightarrow \\ sinx \leq x \leq \frac{sinx}{cosx} \\ \Leftarrow \Rightarrow \\ cosx \leq \frac{sinx}{x}\leq 1

In quest'ultima equazione con x che tende a 0+ abbiamo che cosxcosx tende a 1, e di conseguenza sinxx\frac{sinx}{x} tenderà a 1 per il teorema dei carabinieri.
⇒lim⁡x→0+sinxx=1\Rightarrow \lim_{x\to 0^+} \frac{sinx}{x} = 1

Mentre nel caso di x che tende a 0−0^- possiamo fare così:

lim⁡x→0−sinxx=lim⁡y→0+sin(−y)−y \lim_{x\to 0^-} \frac{sinx}{x} = \lim_{y\to 0^+}\frac{sin(-y)}{-y}

Con la sostituzione: y=−xy = -x, e per x→0−x\to 0^-, y→0+y \to 0^+ Il che implica che siamo nel caso di prima e quindi procediamo in maniera analoga per risolverle il limite.