Momento di Inerzia

Definizione

Il momento di inerzia è una proprietà Geometrica di un corpo, che misura l'inerzia del corpo al variare della velocità angolare. Una grandezza fisica che viene usata nella descrizione del moto di corpi in rotazione attorno ad un asse:

$I_c = \int_{corpo\ rigido} dmh^2$

$\Leftarrow \Rightarrow$

$L_c = I_c\vec{w}\hat{c}$

Se $\vec{w}$ è costante allora $L_c$ costante, $F_{ext} = 0$, $\vec{V}_p$ costante

Definiamo Asse Principale d'Inerzia ogni asse che mantiene il suo moto rotatorio costante.

Data una matrice d'inerzia, se è simmetrica, e diagonalizzabile, allora per troverò un asse d'inerzia per un corpo rigido.

Rotazione Lungo un Asse Generico

$L'_c = L_c + l_0 \leftarrow$ non perpendicolari a $\hat{c}$ dunque:

$L'_c = L_c + L_{0\hat{n}} + L_{0\hat{c}}$ Dove $L_{0\hat{n}}$ rappresenta la componente verticale, ed è costante, mentre: $L_{0\hat{c}}$ è costante in modulo ma non in direzione.

$\Rightarrow\ \ \ \ L'_c = I\vec{w} + \vec{r}_0m_0\vec{w}h_0\cdot \vec{V}_0 = I\vec{w}\hat{c} + \vec{r}_0 m_0 \vec{w} h_0 sin\alpha\cdot \hat{c} + \vec{r}_0m_0wh_0cos\alpha\hat{n}$

Dove il primo termine rappresenta $L_{0\hat{c}}$ mentre il secondo $L_{0\hat{n}}$.

Ricordiamo che $\vec{L}_c$ è costante in modulo quindi: $\frac{d|l'_c|}{dt} = 0$ ma varia la direzione, mentre: $\frac{dl'_c}{dt} \neq 0$, quindi risulta necessario un $M_{ext}$ poichè la velocità angolare risulti pari a $dw = 0$

$\Rightarrow \frac{dl'_c}{dt} = \vec{M}_{ext}$ per mantenere la rotazione costante devo compensare con $f_{ext} \neq 0$