Seconda Legge Cardinale
Enunciato
In un sistema di particelle, la derivata temporale del momento angolare totale del sistema è uguale al momento risultante delle forze esterne applicate al sistema:
l ⃗ q i = r ⃗ q i ∧ P i = r ⃗ q i ∧ m i ⋅ V ⃗ i L ⃗ q = ∑ i l q i = ∑ i ( r ⃗ q i ∧ m i ⋅ V ⃗ i ) d l ⃗ q i d t = r ⃗ q i ∧ f i = m ⃗ q i \vec{l}_{qi} = \vec{r}_{qi} \wedge P_i = \vec{r}_{qi} \wedge m_i\cdot \vec{V}_i\\
\vec{L}_q = \sum_i l_{qi} = \sum_i (\vec{r}_{qi} \wedge m_i\cdot \vec{V}_i)\\
\frac{d\vec{l}_{qi}}{dt} = \vec{r}_{qi} \wedge f_i = \vec{m}_{qi} l q i = r q i ∧ P i = r q i ∧ m i ⋅ V i L q = ∑ i l q i = ∑ i ( r q i ∧ m i ⋅ V i ) d t d l q i = r q i ∧ f i = m q i
⇒ d L ⃗ q d t = ∑ d l ⃗ q i d t = r ⃗ q i ∧ f i = r ⃗ q \Rightarrow \frac{d\vec{L}_q}{dt} = \sum \frac{d\vec{l}_{qi}}{dt} = \vec{r}_{qi} \wedge f_i = \vec{r}_q ⇒ d t d L q = ∑ d t d l q i = r q i ∧ f i = r q
M ⃗ q = M ⃗ q , i n t + M ⃗ q , e x t d l d t = F ⃗ i n t + F ⃗ e x t \vec{M}_q = \vec{M}_{q,\ int} + \vec{M}_{q,\ ext}\\
\frac{dl}{dt} = \vec{F}_{int} + \vec{F}_{ext} M q = M q , in t + M q , e x t d t d l = F in t + F e x t
⇒ d L ⃗ q d t = M ⃗ e x t , q \Rightarrow \frac{d\vec{L}_q}{dt} = \vec{M}_{ext,\ q} ⇒ d t d L q = M e x t , q
Se però abbiamo un sistema isolato, allora: F ⃗ e x t = 0 \vec{F}_{ext} = 0 F e x t = 0 M ⃗ e x t = 0 \vec{M}_{ext} = 0 M e x t = 0 L q L_q L q