Legge di Gravitazione Universale

Enunciato

Dati due corpi M e m con M>>>m in uno spazio in un sistema inerziale, la forza gravitazionale è diretta lungo r con direzione m $\to$ M (In realtà anche m esercita una forza attrattiva rispetto a M, ma è tale forza è moolto più piccola e trascurabile)

In base alle III Legge della Dinamica, M attira m, come m attira M.

La costante gravitazionale G ($\neq g = 9.81$) universale vale $6,67\cdot 10^{-11} \frac{m^3}{kgs^2}$. La forza di gravità presente sulla terra $g$ è stata calcolanda utilizzando la formula: $g = \frac{-G_{massa,\ terra}}{r_{terra}^2}\hat{m}$ dove chiaramente è stato preso il raggio medio, di fatto $g$ varia, seppur di poco, se ci troviamo in cima al Monte Everset oppure in fondo alla fossa delle marianne.

Queste forze valgono anche per corpi puntiformi dove la massa è concentrata in un punto.

$\vec{F}_m(m)$ è sempre attrattiva e centrale, è proporzionale diretto a M e a $\frac{1}{R^2}$ ed è conservativa

Inoltre G segue le leggi di keplero:

1. Le orbite sono piane e di forma ellittica di cui il sole è un fuoco
2. La velocità angolare è costante
3. Il rapporto tra semi asse maggiore e periodo è costante, dipende dal centro di massa, nel caso del sis. solare dipende dal sole. $frac{R^3}{T^2}$

Se M è abbastanza grande e m abbastanza vicino, allora m viene attratto dalla gravità di M.

Il momento angolare si deve conservare altrimente si presuppone l'esistenza di una forza non conservativa e quindi che il corpo si fermerebbe dopo un tot. di tempo che percorre la traiettoria ellittica.

Se per assurdo la traiettoria fosse circolare:

$L = R \wedge m \vec{V} \leftarrow$ R e m sono costanti, L è costante allora $\vec{V}$ è costante.

Però visto che la traiettoria è un ellisse, di conseguenza R non è costante, quindi $\vec{V}$ varia:

• Se il raggio aumenta V diminuisce
• Se il raggio diminuisce allora V aumenta

La velocità areolare(area percorsa coperta su tempo) deve essere costante.