Energia Potenziale

Definizione

L'energia potenziale è l'energia accumulata in un sistema a causa della sua posizione o per la sua configurazione degli oggetti che la compongono. Esistono diversi tipi di U a seconda del tipo di forza coinvolta.

$L_{ab} = \int_a^b \vec{F}d\vec{r} = -\Delta U = [u(\vec{r_b}) - u(\vec{r_a})]\\ = U(\vec{r_a}) - U(\vec{r_b})$

\Rightarrow U(\vec{r_b}) = U(\vec{r_a}) - \int_a^b \vec{F_{cons}}d\vec{r}

En. Pot. Gravitazionale

L'energia potenziale Gravitazionale è generata da quella che la posizione di un corpo nel sistema. In particolare: $L_{ab} = mg(z_a-z_b)\\ U(\vec{r}) = U_{\vec{r_a}} - (mgz_a - mgz_b)$

Supponendo $U(\vec{r_a}) = 0,\ z_a =$

Ottengo che: $U(r) = +mgz_b$

Dove $U(r)$ dipende solamente dall'altezza finale

En. Pot. Elastica

L'energia potenziale elastica è generata da una molla:

$L_{ab} = \frac{1}{2}k(x_a-x_0)^2 + \frac{1}{2}(x_b-x_0)^2\\ U(x) = U(x_a) - [ \frac{1}{2}k(x_a-x_0)^2 + \frac{1}{2}(x_b-x_0)^2 ]$

Anche qui possiamo supporre che: $U(x_a)=0,\ z_a = 0$

Ottenendo di fatto: $U(X) = \frac{1}{2}k(x-x_0)^2$ , anche qui dipende solamente dalla posizione

Derivata

La derivata dell'energia potenziale ci da informazioni riguardanti l'equilibrio del corpo, infatti:

Un corpo è in posizione di equilibrio se:

\vec{F} = 0 \Leftarrow \Rightarrow \frac{dU}{dx} = 0,\ \frac{dU}{dy} = 0, \frac{dU}{dz} = 0

Superficie di Equipotenziale

Risulta importante introdurre le superfici di equipotenziale ovvero un luogo di punti dove la derivata dell'energia potenziale nel piano o spazio è pari a 0:

\frac{dU}{d(x,y,z)} = 0

Solitamente questo concetto è legato alla forza peso: $-mgz = 0$ . Tutte le forze agiscono in maniera $\perp$ ad una sup. eq. Inoltre le forze hanno verso da sup di eq maggiore a minore