Corpo Rigido

Definizione

Si definisce corpo rigido il sistema formato da infinite particelle di dimensione infinitesima. La distanza tra due diversi elementi del sistema è fissa, il che implica: $F_{int} = 0$

Il moto del corpo rigido è la somma di moto traslatorio e rotatorio.

Abbiamo 2 equazioni fondamentali: $\begin{cases} M\frac{d\vec{V}_{cm}}{dt} = F_{ext}\\ \frac{dL_{\Omega}}{dt} = M_{ext, \Omega} \end{cases}$

Statica del Corpo Rigido

Studiare la statica del corpo rigido significa trovare le sue condizioni di equilibrio, le quali dipendono dal polo scelto:

$\Rightarrow \vec{F}_{ext}=0$

$\Rightarrow \frac{mdV_{cm}}{dt} = 0 \leftarrow$ il che implica che $\frac{dV_{cm}}{dt} = 0$, quindi velocità è costante o nulla, ma non esclude la rotazione

$\Rightarrow M_{ext} = 0 \Rightarrow \frac{dL_{\Omega}}{dt}=0 \leftarrow L_{\Omega}$ costante, quindi una velocità angolare $\in \mathbb{R}$

Moto Corpo Rigido

Supponiamo un moto di rotazione attorno ad un asse $C: \hat{C}$ dove $\hat{C}$ è uguale per $\vec{w} = w\hat{C}$

L'asse di rotazione passa per il centro di massa e coincide con l'asse di simmetria del corpo rigido. Scegliamo una rotazione antioraria affinche $w$ risulti positivo.

$|\vec{V}_2| = |\vec{V}_1| = \vec{r}_2wsin\theta$

$|\vec{p}_1|= |vec{p}_2| = dm_2 \vec{r}_2wsin\theta = dm_2wh$

$|dl_1| = |dl_2| = |\vec{r}_1 \wedge dp_1| ) \vec{r}_1dmwh$

$|dl_{1c}| = rdmwhcos(\frac{\pi}{2}-\theta) = rdmwhsing\theta = dmh^2w$

Ogni particella contribuisce al momento angolare totale, ma siccome il corpo rigido ruota attorno ad un asse simmetrico allora le componenti: $dl_{im}$ si annullano tra di loro:

$L_c = \sum_i dm_ih^2\vec{w} = [\int_{volume}dmh^2]\vec{w} = \vec{L}_{tot}$

Ma vale anche, dividendo e moltiplicando con $dv$ ottendo di fatto la densità volumetrica: $\rho = \frac{dm}{dv}$:

$L_c = \sum_i \rhodvh^2\vec{w} = [\int_{solido}\rho dvh^2]\vec{w}$