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Moto Circolare

Uniforme

Il moto parabolico è la combinazione tra due moti rettilinei che avvengono simultaneamente. Definiamo ora delle condizioni iniziali:
r⃗(t=0)=r0=0v⃗(t=0)=v0a⃗(t=0)=−g⃗⋅k^\vec{r}(t=0) = r_0 = 0\\ \vec{v}(t=0) = v_0\\ \vec{a}(t=0) = -\vec{g}\cdot \hat{k}

Conoscendo a⃗\vec{a} in t=0t=0 posso integrare in tt per trovare la velocità (relativa solamente alla accelerazione) nel tempo:

⇒v(t)=Vo+∫ota(t′)dt′v(t)={Vx=Vox+∫0tax(t′)dt′=0Vy=Voy+∫0tay(t′)dt′=V0⋅cosα⋅j^Vx=Vox+∫0tax(t′)dt′=V0⋅sinα⋅k^⇒v(t)=VocoskJ^+Vosinαk^−g⃗tk^ \Rightarrow v(t)=V_o + \int_o^t a(t')dt'\\ v(t) = \begin{cases} V_x = V_{ox} + \int_0^t a_x(t')dt' = 0\\ V_y = V_{oy} + \int_0^t a_y(t')dt' = V_0\cdot cos\alpha \cdot \hat{j}\\ V_x = V_{ox} + \int_0^t a_x(t')dt' = V_0\cdot sin\alpha \cdot \hat{k}\\ \end{cases}\\ \Rightarrow v(t) = V_ocosk\hat{J} + V_osin \alpha \hat{k} - \vec{g}t\hat{k}

Una volta trovata la velocità possiamo determinare la posizione integrando la velocità:

r(t)=∫0tV(t′)dt′=Vocosαtj^+Vosinαtk^−g⃗t2k⃗ r(t) = \int_0^t V(t')dt' = V_ocos\alpha t \hat{j} + V_osin\alpha t \hat{k} - \vec{g}t^2 \vec{k}

Dunque la legge oraria che descriverà il moto è:

{y(t)=tV0cosα+y0z(t)=tV0sinα−12gt2+z0 \begin{cases} y(t)=tV_0cos\alpha + y_0\\ z(t)=tV_0sin\alpha - \frac{1}{2}gt^2 + z_0 \end{cases}

Con y0, z0y_0,\ z_0 condizioni iniziali.
L'equazione della traiettoria è data da: t=yVocosαt= \frac{y}{V_ocos\alpha}

z(t)=yV0cosα⋅V0sinα−12g⋅(yV0cosα)2=ytanα−12g(yV0cosα)z(t) = \frac{y}{V_0cos\alpha} \cdot V_0sin\alpha - \frac{1}{2}g\cdot (\frac{y} {V_0cos\alpha})^2\\ = ytan\alpha - \frac{1}{2}g(\frac{y}{V_0cos\alpha})