1. Home
  2. Fisica
  3. Cinematica
  4. moto circolare

Moto Circolare

Uniforme

Si definisce moto circolare uniforme il moto di un corpo puntiforme che si muove a velocità costante su una traiettoria circolare. Velocità costante: a=dvdt=0a = \frac{dv}{dt} = 0

Questo moto può essere descritto come lo spazio percorso fratto il raggio quindi:

θ(t)=s(t)R=v⋅tR=ωt \theta (t) = \frac{s(t)}{R} = \frac{v\cdot t}{R} = \omega t

Dove ω\omega indica la pulsazione espressa in radianti al secondo rads\frac{rad}{s}

Definiamo ora periodo e frequenza:

T=2πω [s]     f=1T [Hz] T = \frac{2\pi}{\omega}\ [s] \ \ \ \ \ f = \frac{1}{T}\ [Hz]

Inoltre il moto circolare uniforme è un moto periodico quindi rientra nei moti armonici semplici

Per individuare posizione, velocità ed accelerazione:

{x(t)=Rcos(ωt)y(t)=Rsin(ωt) \begin{cases} x(t) = Rcos(\omega t)\\ y(t) = Rsin(\omega t) \end{cases} {x′(t)=dxdt=−ωRsin(ωt)y′(t)=dydt=ωRcos(ωt) \begin{cases} x'(t) = \frac{dx}{dt} =-\omega Rsin(\omega t)\\ y'(t) = \frac{dy}{dt} = \omega Rcos(\omega t) \end{cases} {x′′(t)=−ω2Rcos(ωt)y′′(t)=−ω2Rsin(ωt)\begin{cases} x''(t) =-\omega^2 Rcos(\omega t)\\ y''(t) = -\omega^2 Rsin(\omega t) \end{cases}

Accelerato

Si definisce moto uniformemente accelerato il moto di un corpo puntiforme che si muove con una velocità v e una accelerazione a su una traiettoria circolare
Consideriamo ora una traiettoria qualunque e dopo averne tracciato il cerchio osculatore, ovvero il cerchio che meglio approssima l'infinitesimo tratto di traiettoria troviamo che:
τ^=τxi^+τyj^+τzk^V⃗=∣V∣⋅τ^⇐⇒V⃗=dLdt⋅[τxi^+τyj^+τzk^]a⃗=dV⃗dt=d2Ldt2⋅[τxi^+τyj^+τzk^]+dLdt⋅[drxdti^+drydtj^+drzdtk^]\\ \hat{\tau} = \tau x_{\hat{i}} + \tau y_{\hat{j}} + \tau z_{\hat{k}} \\ \vec{V} = |V|\cdot \hat{\tau } \Leftarrow \Rightarrow \vec{V} = \frac{dL}{dt} \cdot [ \tau x_{\hat{i}} + \tau y_{\hat{j}} + \tau z_{\hat{k}} ] \\ \vec{a} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{d^2L}{dt^2} \cdot [ \tau x_{\hat{i}} + \tau y_{\hat{j}} + \tau z_{\hat{k}} ] + \frac{dL}{dt}\cdot [\frac{dr_x}{dt}\hat{i} + \frac{dr_y}{dt}\hat{j} + \frac{dr_z}{dt}\hat{k}]

Dove τ^\hat{\tau} rappresenta il vettore tangente al cerchio osculatore che varia direzione in ogni punto della circonferenza. La velocità: è la variazione dello spostamento nei tre assi, ed infine la velocità è lo spostamento infinitesimale sui vari assi del primo sistema di riferimento più la derivata della velocità.

Chiaramente il fatto che si possa trovare la derivata di d2ldt2\frac{d^2l}{dt^2} indica che ∃a,τ^\exists a,\hat{\tau} in funzione del tempo.

Sappiamo inoltre che:
dτxdt=drxdt=drxdt⋅dLdt\frac{d\tau_x}{dt} = \frac{dr_x}{dt} = \frac{dr_x}{dt} \cdot \frac{dL}{dt} che vale ∀dτx,y,z l=L\forall d\tau_{x,y,z}\ l = L
Allora abbiamo che:
a⃗=dldt2τ^+dldt⋅[drxdt⋅dLdt⋅i^+drydt⋅dLdt⋅j^+drzdt⋅dLdt⋅k^]=dldt2τ^+(dldt)2⋅[drxdl⋅i^+drydl⋅j^+drzdl⋅k^]=dldt2τ^+(dldt)2⋅dτdl\vec{a} = \frac{d^l}{dt^2}\hat{\tau} + \frac{dl}{dt}\cdot [\frac{dr_x}{dt} \cdot \frac{dL}{dt} \cdot \hat{i} + \frac{dr_y}{dt} \cdot \frac{dL}{dt} \cdot \hat{j} + \frac{dr_z}{dt} \cdot \frac{dL}{dt} \cdot \hat{k}]\\ =\frac{d^l}{dt^2}\hat{\tau} + (\frac{dl}{dt})^2 \cdot [\frac{dr_x}{dl}\cdot \hat{i} + \frac{dr_y}{dl}\cdot \hat{j} + \frac{dr_z}{dl}\cdot \hat{k}]\\ = \frac{d^l}{dt^2}\hat{\tau} + (\frac{dl}{dt})^2 \cdot \frac{d\tau}{dl}\\
⇒a⃗(t)=dldt2τ^+[dldt]2⋅1φn^\Rightarrow \vec{a}(t) = \frac{d^l}{dt^2}\hat{\tau} + [\frac{dl}{dt}]^2\cdot \frac{1}{\varphi}\hat{n}

Dove 1φ\frac{1}{\varphi} indica il raggio mentre n^\hat{n} è il versore che ha verso e direzione per il centro del nostro cerchio osculatore. In particolare il primo addendo indica l'accelerazione tangenziale mentre il secondo l'accelerazione centripeta.

Dunque ora che abbiamo visto il moto circolare uniformemente accelerato possiamo dire che se:

  • dτdl=0\frac{d\tau}{dl} = 0 allora abbiamo un moto rettilineo
  • d2ldt2=0\frac{d^2l}{dt^2} = 0 non c'è accelerazione quindi siamo nel moto circolare