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Serie Geometrica

Definizione

∑n=0+∞qn=1+q+q2+q3+...+qn\sum_{n=0}^{+\infty} q^n = 1+q+q^2+q^3+...+q^n

Dove la somma vale:

Sk=1+q+q2+q3+...+qn+{1−qk+11−q, conq≠1k+1, q=1 S_k = 1+q+q^2+q^3+...+q^n + \begin{cases} \frac{1-q^{k+1}}{1-q},\ con q \neq 1\\ k+1,\ q=1 \end{cases}

Se studiamo il caso q≠1q \neq 1

(1−q)Sk=(1−q)(1+q+q2+q3+...+qn)=1−q+q−q2+q2−q3+q3−...−qk+qk+qk+1⇒Sk=1−qk+11−q (1-q)S_k = (1-q)(1+q+q^2+q^3+...+q^n) = 1-q+q-q^2+q^2-q^3+q^3-...-q^k+q^k+q^{k+1} \Rightarrow S_k = \frac{1-q^{k+1}}{1-q}

In particolare con q≠1q\neq 1

∑n=0+∞qn=lim⁡k→+∞1−qk+11−q={11−q, ∣q∣<1+∞, q>1∄, q≤1 \sum_{n=0}^{+\infty} q^n= \lim_{k\to +\infty} \frac{1-q^{k+1}}{1-q} = \begin{cases} \frac{1} {1-q},\ |q|<1\\ +\infty,\ q>1\\ \nexists,\ q \leq 1 \end{cases}