Serie Armonica Definizione La serie armonica generalizzata: ∑n=1+∞={Divergente, 0<α≤1Convergente, α>1 \sum_{n=1}^{+\infty} = \begin{cases} Divergente,\ 0<\alpha \leq 1\\ Convergente,\ \alpha > 1 \end{cases} n=1∑+∞={Divergente, 0<α≤1Convergente, α>1 Infatti: f(x)=frac1xαf(x) = frac{1}{x^{\alpha}}f(x)=frac1xα positiva, decrescente in (0,+∞), limx→+∞f(x)=0(0,+\infty),\ \lim_{x\to +\infty}f(x) = 0(0,+∞), limx→+∞f(x)=0 ∑n=1+∞1xα conv⇐⇒∫1+∞1xαdx conv \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\ conv \Leftarrow \Rightarrow \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx\ conv n=1∑+∞xα1 conv⇐⇒∫1+∞xα1dx conv ∑n=1+∞1xα div⇐⇒∫1+∞1xαdx div \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}\ div \Leftarrow \Rightarrow \int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^{\alpha}}dx\ div n=1∑+∞xα1 div⇐⇒∫1+∞xα1dx div