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Formula di Taylor con Resto di Peano

Enunciato

Sia: f:(a,b)→Rf:(a,b)\to \mathbb{R} derivabile nn volte (n\meq1)(n\meq 1) in x0∈(a,b)x_0 \in (a,b) ⇒f(x)=∑k=0nfk(x0)k!⋅(x−x0)k+o[(x−x0)n]\\ \Rightarrow f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^k(x_0)}{k!}\cdot (x-x_0)^k + o[(x-x_0)^n] con x→x0x \to x_0

! Se considero x0,o(x−x0)kx_0, o(x-x_0)^k è più piccolo e quindi trascurabile. Se invece considero x≠x0x\neq x_0 allora l'errore è più grande e non riescoa stimare l'errore con precisione.

Dimostrazione

Dimostriamo nel caso in cui n è uguale a 2, quindi la tesi sarà:

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2+o[(x−x0)2] f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + o[(x-x_0)^2]

Per x→x0x\to x_0 allora:

f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)−f′′(x0)2(x−x0)2=o[(x−x0)2] f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0) - \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 = o[(x-x_0)^2]

Per dimostrare che la nostra funzione meno l'approssimano è più piccola dell'errore quindi:

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)−f′′(x0)2(x−x0)2(x−x0)2=0⇐ Hopital ⇒lim⁡x→x0f′(x)−f′(x0)−f′′(x0)(x−x0)2(x−x0)=0 \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x-x_0) - \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2}{(x-x_0)^2} = 0 \\ \Leftarrow\ Hopital\ \Rightarrow \\ \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x) - f'(x_0) - f''(x_0)(x-x_0)}{2(x-x_0)} = 0

Ora poniamo g(x)=f′(x)g(x) = f'(x) derivabile in x0x_0:

⇒g(x)=g(x0)+g′(x0)(x−x0)+o(x−x0), x→x0⇒g(x)−g(x0)−g′(x0)(x−x0)=o(x−x0)\\ \Rightarrow g(x) = g(x_0) + g'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0),\ x\to x_0 \\ \Rightarrow g(x) - g(x_0) - g'(x_0)(x-x_0) = o(x-x_0)

Dove applicando la regola di prima otteniamo:

lim⁡x→x0g(x)−g(x0)−g′(x0)(x−x0)(x−x0)=0⇒lim⁡x→x0H=0 \lim_{x\to x_0} \frac{g(x) - g(x_0) - g'(x_0)(x-x_0)}{(x-x_0)} = 0 \\ \Rightarrow \lim_{x\to x_0} H = 0