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Definizione di Integrale Riemann

Definizione

Sia f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} limitata, ff si dice integrale secondo Riemann in [a,b][a,b] se:

sup(s−)[D,f]=inf(s+)[D,f] sup(s^-)[D,f] = inf(s^+)[D,f]

Il valore è detto integrale di Riemann di f∈[a,b]f \in [a,b]:

∫abf(x)dx \int_a^b f(x)dx

Spiegazione

Consideriamo il grafico di una funzione generica semplice, suddiviamo l'intervallo [a,b][a,b] in tanti piccoli intervalli. Se noi ora calcoliamo l'area dei rettangoli per eccesso o per difetto, con intervalli grandi otteniamo aree diverse, ma se gli intervalli sono piccoli piccoli le due aree saranno uguali quindi:

s−=∑i=1nMi(xi−xi−1)s+=∑i=1nmi(xi−xi−1) s^- = \sum_{i=1}^n M_i(x_i-x_{i-1}) s^+ = \sum_{i=1}^n m_i(x_i-x_{i-1})

Se considero (xi,xi−1)→0(x_i, x_{i-1}) \to 0 allora:

sup(s−)=inf(s+) sup(s^-) = inf(s^+)

Quindi le due aree avranno lo stesso estremo superiore ed inferiore. Questa è l'idea di base che sta dietro alla dimostrazione di questo teorema.