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Definizione di Derivata

Definizione

La definizione di derivata, ovvero: Sia f(x):[a,b]→Rf(x):[a,b]\to \mathbb{R} ff si dice derivabile in x0x_0 se:

f′(x0):=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0   ∨   lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h f'(x_0) := \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ \ \ \vee \ \ \ \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}

Retta Tangente

Per trovare l'equazione della retta tangente ad ff in x0x_0, calcoliamo:

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)hy=f(x0)+f′(x0)(x−x0) f'(x_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0){h}} \\ y=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)

Derivabile implica continuo

Enunciato

f:[a,b]→Rf:[a,b]\to \mathbb{R} derivabile in x0∈[a,b]⇒fx_0 \in [a,b] \Rightarrow f è continua

Dimostrazione

f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=∃=l⇒lim⁡x→x0f(x0)=f(x0) f'(x_0) = \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \exists = l \\ \Rightarrow \lim_{x\to x_0} f(x_0) = f(x_0)