Esercizio Con Attrito Piano Inclinato

Testo

Disponiamo di un piano ed un piano inclinato, lunghi entrambi 10 metri, per una lunghezza totale di 20; Il piano inclinato ha un altezza pari a 5 centimetri.

Questo piano ha una $\mu_d = 0,3$ e $\mu_s=0,5$

Quesito

Se lanciamo in A una pallina a 10 $\frac{m}{s}$, la pallina arriva in cima al piano?, se si a che velocità? Se no, quale sarà l'altezza massima raggiunta e se la pallina si fermerà o meno. La pallina ha massa 100g.

Soluzione

La prima cosa da fare è scomporre il problema a pezzi ovvero capiamo prima a quale velocità arriva la pallina in B, quindi sfruttando la relazione:

Semplificando per la massa otteniamo un accelerazione e quindi:

$a = 0,3 \cdot g \cong -3 \frac{m}{s}$

Ora sfruttando l'equazione del moto rettilineo uniformemente accelerato: $10 = 0 + 10t + 1/2\cdot -3 t^2 = 0$

Dove risolvendo come banale eq di secondo grado otteniamo due soluzioni: $t_1 = 5.44$ e $t_2 = 1.22$. La soluzione utile sarà $t_2$ visto che $t_1$ non ha senso fisico.

Una volta trovato quanto impiega in secondi ad arrivare in B, possiamo sfruttare la relazione della velocità del MRUA: $V_f = 10-3*1.22 = 6.34 \frac{m}{s}$

Dunque la palla arriverà in B ad una velocità di 6.34 $\frac{m}{s}$. Risulta banale dire che la pallina non riscirà ad arrivare in cima poichè come già visto nell'esercizio scorso la pallina perde solo grazie alla gravità una velocità di circa 8,6 $\frac{m}{s}$, quindi la pallina si fermerà sulla parte inclinata.

Ora dobbiamo capire a quale altezza arriva però la pallina, per fare ciò dobbiamo utilizzare nuovamente l'equazione del moto accelerato, visto che risulta intuitiviamente più semplice invece di utilizzare l'energia e il lavoro compiuto (integrali 😵), quindi per rendere più facile possiamo disegnare il diagramma delle forze, notiamo che sulla pallina agisce la forza peso parallela, e l'attrito, quindi come prima:

$a_{f,att} = -\mu_d|gcos\theta|\ a_{fp} = gsin\theta\\ \Rightarrow a_{tot} = a_{f,att} + a_{fp} = -7.445 \frac{m}{s^2}$

$\Rightarrow V(t) = v_0 + at\\ \Rightarrow t = 0,8515 s$

Lo spazio percorso sarà di: $s(t) = 2.74$ m. ! Attenzione questo spazio non è l'altezza sull'asse Y, è la porzione della parte inclinata del piano percorsa, quindi per trovare l'altezza sapendo l'angolo $\theta = 30°$ basta utilizzare la definizione trigonometrica e trovo che h: $sing\theta = \frac{h}{2.74} \Rightarrow h = 1.37$ m. Quindi l'altezza massima raggiunta è di 1,37 metri.

Infine per capire se la pallina rimarrà ferma sul piano basterà capire se la forza peso parallela sarà maggiore della forza di attrito statico:

Possimo semplificare per m e g e scopriamo banalmente che il corpo si muoverà e non rimarrà fermo.