Base

Disponiamo di un piano ed un piano inclinato, lunghi entrambi 10 metri, per una lunghezza totale di 20; Il piano inclinato ha un altezza pari a 5 centimetri.

Se lanciamo in A una pallina a 10 $\frac{m}{s}$:

1. Se non c'è attrito, la pallina arriva in cima? Se si a che velocità e quanto tempo impiega? Eventualmente che moto effettuera la pallina, dove cadrà ed a quale velocità impatterà il terreno.

Soluzione

Considerazione: Il piano essendo orizzontale non ha variazione di velocità ($\mu_d = 0$), quindi la velocità in A sarà uguale alla velocità in B.

Per determinare se arriva in cima o meno possiamo utilizzare l'energia, in particolare, sappiamo che in presenza di un campo conservativo (non c'è attrito) l'energia meccanica si conserva.

$\Rightarrow E_{ci} - E_{cf} = - (E_{pi} - E_{pf})$

Con: $E_{pi} = 0$ visto che utilizzo un S.R. in modo intelligende ponendo y=0 che sta sulla retta parallela al terreno (AB). Da questo segue che:

Sostituendo i vari valori ottengo:

$V_f = \sqrt{-2gh+V_i^2} = 1,37 \frac{m}{s}$

Quindi il corpo arriva in cima alla rampa con una velocità di 1,37 m/s.

Per determinare invece quanto tempo impiegha per arrivare in cima possiamo utilizzare la definizione di Forza:

In particolare disegnando la pallina sul piano inclinato e disegnando tutte le forze che agiscono sul corpo quindi: $\vec{F}_p$, $\vec{V}$, $\vec{F}_{att}$, $\vec{R}$. Notiamo che come detto prima $\vec{F}_att$ è pari a zero, possiamo scomporre la forza peso in parellela e perpendicolare al piano. Ora ricordiamo che:

Notando dal diagramma delle forze che la pallina viene rallentata dalla unica forza peso parallela al piano e quindi:

$\Rightarrow$ $\vec{a} = gsin\theta$ Dove abbiamo diviso ambo i mebri per $m$, visto che dobbiamo ottenere un accelerazione dalla forza, inoltre la massa non è data dall'eserecizio.

L'angolo $\theta$ non è dato dal problema ma utilizzando la semplice trigonometria sappiamo che il $sin\theta$ è pari al rapporto tra altezza e base, quindi troviamo che:

$\vec{a} = -9,81\frac{5}{10} = -4.905 \frac{m}{s^2}$

Una volta trovata l'accelerazione sul tratto in salita possiamo sfruttare l'equazioni del moto rettilineo uniformemente accelerato:

$s(t) = x_0 + \vec{v}_it + \vec{a}\frac{1}{2}t^2$ e $\vec{v}(t)=\vec{v}_i + \vec{a}t$

Troviamo: $v(t) = 10-4.905t = 1.37\frac{m}{s}$

Dove t: $t = \frac{1.37-10}{-4.905} = 1.76 s$

Quindi il corpo impiegherà 1.76 secondi per arrivare in cima.

Visto che il corpo arriva in cima con una velocità maggiore di zero, e vista la presenza della gravità la pallina compierà un moto di tipo parabolico.

Per determinare la velocità d'impatto possiamo sfruttare la conservazione dell'energia visto che non vi è attrito tra la pallina ed il fluido. Per fare ciò inoltre facciamo un ulteriore considerazione ovvero, la pallina quando colpirà il terreno avrà velocità lungo asse y pari a zero e di conseguenza l'energia cinetica sarà massima.

$E_{p,max} - E_{pf} = [E_{k,y,max} - E_{k,x,max}] - E_{k,f}$

$\Rightarrow h_{max} = \frac{[V_{f,y}^2 + V_{f,x}^2] - \frac{V_f^2}{m} + 2gh}{2g} = +5,86m$

Il corpo raggiunge un altezza massima pari a 5,86 metri, ora per determinare la velocità d'impatto possiamo sostituire nell'equazione dell'energia potenziale e tradurla in energia cinetica: $E_{k,y,max} = 0\\ E_{pot,y,max} = mgh_{max}\\ E_{pot,y,0} = mgh = 0\\ E_{k,y,0} = \frac{1}{2}mV_{f,yf}$

$\Rightarrow E_{k,y,0} = E_{pot,y,hmax}\\ \Rightarrow V_{f,yf} = gh_{max}2\\ \Rightarrow V_{f,yf} = \sqrt{gh_{max}2} = 10,72 \frac{m}{s}$

La velocità in x non varia visto che non ci sono attriti ed è facilmente calcolabile, sappiamo che vale: $V_x = 1.195 \frac{m}{s}$

Dunque per calcolare la velocità effettiva all'impatto basta calcolare tramite somma vettoriale $V_x$ e $V_y$ ed otteniamo:

$V(t) = \sqrt{v_x^2 + V_y^2} = 10.78 \frac{m}{s}$

Infine dobbiamo determinare quanto lontano atterra la pallina, per fare ciò possiamo sfruttare l'equazioni del moto parabolico: $x(t) = x_0 + v_0t\\ y(t) = y_0 + v_0t + mgt^2$

Inoltre: $V_{f,y} = V_fsing\theta\\ V_{f,x} = V_fcos\theta$

In particolare quando tocca terra y = 0:

$\Rightarrow h + V_fsin\theta t + \frac{1}{2}gt^2 = 0\\ t=1,14 s$

Sapendo il tempo sostituiamo ed otteniamo: $x(t) = 0 + 1,37cos(30°)1,14 = 1,37 m$