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Kooning

Analizziamo il moto dei sistemi dei corpi rigidi, permettendo di scomporre il moto in moti di tipo traslazionale e rotazionale

I° Teorema: Momento Angolare

Enunciato

Il momento angolare: L⃗\vec{L} di un sistema di punti materiali rispetto ad un punto O qualsiasi può essere espresso come la somma dedl momento angolare del centro di massa rispetto ad O e del momento angolare del sistema rispetto al CM.

L⃗=L⃗cm+L⃗′ \vec{L} = \vec{L}_{cm} + \vec{L}'

Dimostrazione

{r⃗i′=r⃗i−vecrcmdr⃗idt=Vi′=dr⃗idt−dr⃗cmdt \begin{cases} \vec{r}_i' = \vec{r}_i - vec{r}_{cm}\\ \frac{d\vec{r}_i}{dt} = V_i' = \frac{d\vec{r}_i}{dt} - \frac{d\vec{r}_{cm}}{dt}\\ \end{cases}

l⃗i=r⃗i∧miV⃗i=r⃗i∧P⃗i=(r⃗i′+r⃗cm)∧mi(V⃗i′+V⃗cm)=(r⃗i′+r⃗cm)∧(miMP⃗cm+P⃗i)=[∑ir⃗cm∧miMP⃗cm]+[∑ir⃗cm∧P⃗i]+[∑ir⃗i∧miMP⃗cm]+[∑ir⃗i∧Pi]←\vec{l}_i = \vec{r}_i \wedge m_i \vec{V}_i = \vec{r}_i \wedge \vec{P}_i\\ = (\vec{r}_i' + \vec{r}_{cm})\wedge m_i(\vec{V}'_i +\vec{V}_{cm})\\ = (\vec{r}_i' + \vec{r}_{cm})\wedge (\frac{m_i}{M}\vec{P}_{cm} + \vec{P}_i)\\ = [\sum_i \vec{r}_{cm} \wedge \frac{m_i}{M}\vec{P}_{cm}] + [\sum_i \vec{r}_{cm} \wedge \vec{P}_i] +[\sum_i \vec{r}_i \wedge \frac{m_i}{M}\vec{P}_{cm}] + [\sum_i \vec{r}_i\wedge P_i] \leftarrow Proprietà Distributiva Moltiplicazione =[r⃗cm∧PcmM∑imi]+[rcm∧∑imiVi′]+[PcmM∧∑imiRi′⃗]+[∑ir⃗i∧miV⃗i′]\\ = [\vec{r}_{cm} \wedge \frac{P_{cm}}{M}\sum_i m_i] + [r_{cm}\wedge \sum_i m_i V_i'] + [\frac{P_{cm}{M}} \wedge \sum_i m_i\vec{R_i'}] + [\sum_i \vec{r}_i \wedge m_i \vec{V}_i']

Dove i termini: ∑imiVi′\sum_i m_i V_i' e ∑imiRi′⃗\sum_i m_i\vec{R_i'} sono pari a 0 (vedi dimostrazione cm), quindi ottengo:

l⃗i=[r⃗cm∧Pcm]+[∑ir⃗i′∧miVi′]\vec{l}_i = [\vec{r}_{cm} \wedge P_{cm}] + [\sum_i \vec{r}_i' \wedge m_i V_i']

⇒l⃗i=Lcm+L′ \Rightarrow \vec{l}_i = L_{cm} + L'

Ovvero Momento angolare del Centro di Massa più il momento angolare della particella i-esima