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2° Teorema Forze Vive

Enunciato

In assenza di forze dissipative il lavoro compiuto dalle forze applica ad un corpo è para alla variazione di En. Cinetica di un corpo.

Wext=∫abF⃗p1dr⃗1+F⃗p2dr⃗2 W_{ext} = \int_a^b \vec{F}_{p1}d\vec{r}_1 + \vec{F}_{p2}d\vec{r}_2

Wint=∫abF⃗12dr⃗1+F⃗21dr⃗2=∫abF⃗12(dr⃗1−dr⃗2)=∫abF⃗12⋅dr⃗12W_{int} = \int_a^b \vec{F}_{12} d\vec{r}_1 + \vec{F}_{21}d\vec{r}_2\\ = \int_a^b \vec{F}_{12} (d\vec{r}_1 - d\vec{r}_2)\\ = \int_a^b \vec{F}_{12}\cdot d\vec{r}_{12}

Da questa ultima equazione notiamo che il lavoro interno WintW_{int} dipende solamente dallo stato A e B. Di conseguenza l'energia cinetica:

Ekb−Eka=Wext+Wint=∫ab∑iFidr⃗i+∫ab12∑ijf⃗ijdr⃗ijE_{kb} - E_{ka} = W_{ext} + W_{int} = \int_a^b \sum_i F_id\vec{r}_i + \int_a^b \frac{1}{2} \sum_{ij} \vec{f}_{ij}d\vec{r}_{ij}

Se le F⃗int\vec{F}_{int} sono conservative, quindi il lavoro compiuto dipende solo dal punto iniziale e finale, allora:

$W_{int} = U_{int,a} - U_{int,b}\ \Leftarrow \Rightarrow E_{k,b} - E_{k,a} = W_{ext} + [U_{int,a} - U_{int,b}]

$

⇒    Wext=[Ek,b+Uint,b]−[Ek,a+Uint,a]:=Ub−Ua\Rightarrow \ \ \ \ W_{ext} = [E_{k,b} + U_{int,b} ] - [E_{k,a} + U_{int,a}] := U_b - U_a